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2025-09-29
基于Grad-13矩法的颗粒相本构分析方法
【摘要】：下面从Grad-13矩方法来进行分析。依照Grad矩方法，假设单颗粒速度分布函数的三阶近似展开式为 :式中:aij和aijk分别为待定系数张量。下面分析该关系能否使方程式与式中的外力相关项为零。由此得出与Chapman-Enskog法分析的相同结论:仅当水沙两相脉动速度满足近乎无关条件时，颗粒相的速度分布函数与快速颗粒流的本构关系形式相同。
前文从稠密气体分子动理学理论的Chapman-Enskog迭代法出发，论述了仅当水沙两相脉动速度满足特定条件时，液相水流对泥沙颗粒相本构关系才没有直接影响，快速颗粒流的有关成果可以直接应用到水沙两相流动中。下面从Grad-13矩方法来进行分析。
由颗粒相属性参量φ 的输运方程式(3-4)，可以获得颗粒脉动速度的二阶矩和三阶矩的输运方程。在水沙两相流条件下，泥沙颗粒相的矩方程较快速颗粒流的矩方程多出了外力附加项(王光谦和傅旭东，2000;傅旭东，2001):
式中:i1～in为下标号;Θi1( ) 和γc( ) 的定义分别见式(3-5)和式(3-6)。
依照Grad矩方法，假设单颗粒速度分布函数的三阶近似展开式为 (Jenkins和Richman，1985):
式中
式中:i1～in为下标号;Θi1( ) 和γc( ) 的定义分别见式(3-5)和式(3-6)。
依照Grad矩方法，假设单颗粒速度分布函数的三阶近似展开式为 (Jenkins和Richman，1985):
式中:aij和aijk分别为待定系数张量。
结合二阶矩方程式(3-102)和三阶矩方程式 (3-103)，可得式 (3-108)中的系数张量所满足的方程:(https://www.chuimin.cn)
式中:aij和aijk分别为待定系数张量。
结合二阶矩方程式(3-102)和三阶矩方程式 (3-103)，可得式 (3-108)中的系数张量所满足的方程:
将上述方程中的各碰撞积分项求出显式表达式，然后通过量级分析，就可以确定系数张量aij和aijk的近似解(Jenkins和Richman，1985;Peirano和Leckner，1998)，从而获得颗粒速度分布函数的三阶近似解。在外力与颗粒速度无关时，上述两式中不出现外力相关项，其近似解已由Lun et al. (1984)、Jenkins和Richman (1985)确定。
由前文的Chapman-Enskog迭代法，知道当水沙两相脉动速度满足一定关系时，泥沙颗粒相的本构关系与快速颗粒流的相同。下面分析该关系能否使方程式(3-109)与式(3-110)中的外力相关项为零。在获取方程式 (3-109)与式 (3-110)中的各碰撞项的积分结果时，一般是代入平衡态的速度分布函数f(0)进行积分计算。对于上述两式中的外力作用项，也用f(0)计算。根据式(3-90)，将方程式(3-109)与式(3-110)中的外力项分别整理有:
将上述方程中的各碰撞积分项求出显式表达式，然后通过量级分析，就可以确定系数张量aij和aijk的近似解(Jenkins和Richman，1985;Peirano和Leckner，1998)，从而获得颗粒速度分布函数的三阶近似解。在外力与颗粒速度无关时，上述两式中不出现外力相关项，其近似解已由Lun et al. (1984)、Jenkins和Richman (1985)确定。
由前文的Chapman-Enskog迭代法，知道当水沙两相脉动速度满足一定关系时，泥沙颗粒相的本构关系与快速颗粒流的相同。下面分析该关系能否使方程式(3-109)与式(3-110)中的外力相关项为零。在获取方程式 (3-109)与式 (3-110)中的各碰撞项的积分结果时，一般是代入平衡态的速度分布函数f(0)进行积分计算。对于上述两式中的外力作用项，也用f(0)计算。根据式(3-90)，将方程式(3-109)与式(3-110)中的外力项分别整理有:
不难看出，当两相脉动速度近乎无关 (〈UiVi〉→0)时，式 (3-111)和式 (3-112)的结果为零，亦即在系数张量方程式(3-109)与式(3-110)中不会出现外力项。此条件下，系数张量的求解结果将等同于Lun et al. (1984)或Jenkins 和Richman(1985)的快速颗粒流理论结果。由此得出与Chapman-Enskog法分析的相同结论:仅当水沙两相脉动速度满足近乎无关条件时，颗粒相的速度分布函数与快速颗粒流的本构关系形式相同。
不难看出，当两相脉动速度近乎无关 (〈UiVi〉→0)时，式 (3-111)和式 (3-112)的结果为零，亦即在系数张量方程式(3-109)与式(3-110)中不会出现外力项。此条件下，系数张量的求解结果将等同于Lun et al. (1984)或Jenkins 和Richman(1985)的快速颗粒流理论结果。由此得出与Chapman-Enskog法分析的相同结论:仅当水沙两相脉动速度满足近乎无关条件时，颗粒相的速度分布函数与快速颗粒流的本构关系形式相同。
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