基于Chapman-Enskog法的颗粒相本构关系分析

在稠密气体分子运动的动理学理论 (Kinetic theory)的分析方法中，主要有Chapman-Enskog迭代法和Grad的13矩方法。首先从Chapman-Enskog法来考察颗粒相脉动量的本构关系，由于问题的复杂性，仅探讨了颗粒近乎弹性 (1-e→0)的情形，并与现有的近乎弹性的快速颗粒流理论成果作比较。

在自然界的水沙运动中，泥沙颗粒之间的碰撞是非弹性的，造成了颗粒相的动能耗散。因而，并不存在严格意义上的平衡态和相应的速度分布函数。在近乎弹性的假定下，认为平衡态仍然存在，并存在相应的速度分布函数，即正态分布 (Maxwell分布)函数(Lun et al.，1984;Sangani et al.，1996):

式中:f(0)为Maxwell速度分布函数。

当颗粒系统偏离平衡态时，式(3-70)给出了颗粒速度分布函数的一阶近似解。假设颗粒速度分布函数偏离正态分布一个小量，将颗粒速度分布函数写成如下二阶近似:

式中:f(0)为Maxwell速度分布函数。

当颗粒系统偏离平衡态时，式(3-70)给出了颗粒速度分布函数的一阶近似解。假设颗粒速度分布函数偏离正态分布一个小量，将颗粒速度分布函数写成如下二阶近似:

式中:φ(1)为小参数，是各统计平均参数的一阶导数和脉动速度构成的标量函数，与平均场的一阶导数具有相同的量级。

这样，Boltzmann方程的求解实际上就是求出小参数φ(1)的近似解，从而获得二阶近似的颗粒速度分布函数。

3.3.1.1　Boltzmann方程的对流扩散项

将二阶近似的颗粒速度分布函数式(3-71)代入Boltzmann方程式(3-2)，保留最低阶的项，略去包含φ(1)的各高阶项，方程左侧的对流扩散项为 (Gidaspow，1994;Chapman和Cowling，1970):

式中:φ(1)为小参数，是各统计平均参数的一阶导数和脉动速度构成的标量函数，与平均场的一阶导数具有相同的量级。

这样，Boltzmann方程的求解实际上就是求出小参数φ(1)的近似解，从而获得二阶近似的颗粒速度分布函数。

3.3.1.1　Boltzmann方程的对流扩散项

将二阶近似的颗粒速度分布函数式(3-71)代入Boltzmann方程式(3-2)，保留最低阶的项，略去包含φ(1)的各高阶项，方程左侧的对流扩散项为 (Gidaspow，1994;Chapman和Cowling，1970):

式中所有函数均在点xi处取值。将平衡态速度分布函数式(3-70)代入整理得:

式中所有函数均在点xi处取值。将平衡态速度分布函数式(3-70)代入整理得:

上式中的速度〈vi〉(0)和各时间相关项，由一阶近似下的守恒方程式 (3-7)～式 (3-9)确定。

将正态分布函数式(3-70)代入到方程式 (3-7)～式 (3-9)，其中的颗粒相脉动量:

上式中的速度〈vi〉(0)和各时间相关项，由一阶近似下的守恒方程式 (3-7)～式 (3-9)确定。

将正态分布函数式(3-70)代入到方程式 (3-7)～式 (3-9)，其中的颗粒相脉动量:

颗粒相的各碰撞项为(Jenkins和Richman，1985;应纯同，1989):

颗粒相的各碰撞项为(Jenkins和Richman，1985;应纯同，1989):

由守恒方程式(3-7)～式(3-9)有一阶近似下的质量、动量和脉动能方程:

由守恒方程式(3-7)～式(3-9)有一阶近似下的质量、动量和脉动能方程:

将方程式(3-78)～式(3-80)代入方程式(3-73)，整理即得:

将方程式(3-78)～式(3-80)代入方程式(3-73)，整理即得:

式(3-81)即为二阶近似下Boltamann方程的对流扩散项。与经典稠密气体分子动理学理论的相应结果相比，上式中出项了外力Fi的相关项和能量耗散γc(0)的影响项。在近乎弹性的条件下，γc(0)与1-e量阶相同而可以忽略。若同时忽略外力相关项，并令χ=g0(1+e)/2，那么上式等同于稠密气体分子动理学理论的相应结果。

3.3.1.2　Boltzmann方程的碰撞积分项

在Boltzmann方程(3-1)中，考虑到颗粒占据空间位置对颗粒碰撞的影响，在颗粒近乎弹性时，其右侧的碰撞积分仍可近似用下面的形式 (Lun et al.，1984;Sangani et al.，1996):

式(3-81)即为二阶近似下Boltamann方程的对流扩散项。与经典稠密气体分子动理学理论的相应结果相比，上式中出项了外力Fi的相关项和能量耗散γc(0)的影响项。在近乎弹性的条件下，γc(0)与1-e量阶相同而可以忽略。若同时忽略外力相关项，并令χ=g0(1+e)/2，那么上式等同于稠密气体分子动理学理论的相应结果。

3.3.1.2　Boltzmann方程的碰撞积分项

在Boltzmann方程(3-1)中，考虑到颗粒占据空间位置对颗粒碰撞的影响，在颗粒近乎弹性时，其右侧的碰撞积分仍可近似用下面的形式 (Lun et al.，1984;Sangani et al.，1996):

将碰撞积分式(3-82)中的双颗粒速度分布函数f(2)在点xi处展开为Taylor级数，有如下碰撞积分表达式(Chapman和Cowling，1970):

将碰撞积分式(3-82)中的双颗粒速度分布函数f(2)在点xi处展开为Taylor级数，有如下碰撞积分表达式(Chapman和Cowling，1970):

将式(3-71)代入上式，考虑到颗粒的近乎弹性:f′1(0)f′(0)≈f1(0)f(0)，仅保留φ(1)的一阶项，整理得到碰撞积分(Chapman和Cowling，1970):

将式(3-71)代入上式，考虑到颗粒的近乎弹性:f′1(0)f′(0)≈f1(0)f(0)，仅保留φ(1)的一阶项，整理得到碰撞积分(Chapman和Cowling，1970):

其中

其中

在获得式(3-84)形式的碰撞积分表达式中，也采用了颗粒碰撞近乎弹性的假定，或者假定了1-e至少与小参数φ(1)量级相同，因而式(3-84)仅对1-e→0而言是准确的。

3.3.1.3　二阶近似的Boltzmann方程

将正态分布函数f(0)代入式(3-86)，并结合式 (3-81)和式 (3-84)，采用近乎弹性假定，略去高阶项，获得小参数φ(1)所满足的二阶近似的Boltzmann方程:

在获得式(3-84)形式的碰撞积分表达式中，也采用了颗粒碰撞近乎弹性的假定，或者假定了1-e至少与小参数φ(1)量级相同，因而式(3-84)仅对1-e→0而言是准确的。

3.3.1.3　二阶近似的Boltzmann方程

将正态分布函数f(0)代入式(3-86)，并结合式 (3-81)和式 (3-84)，采用近乎弹性假定，略去高阶项，获得小参数φ(1)所满足的二阶近似的Boltzmann方程:

由式(3-87)求出小参数φ(1)的近似解，即可获得二阶近似的颗粒速度分布函数，并可进而获得脉动应力和脉动能脉动传导通量的本构关系。但在水沙两相流的条件下，小参数φ(1)所服从的积分形式的方程含有外力相关项，这是与快速颗粒流理论的结果所不同的。

颗粒所受外力Fi包括重力、水流施加的作用力等，与水流的脉动特性有关。当水流作用显著时，外力Fi将明显影响小参数φ(1)的解，从而影响到颗粒相的本构关系式。在一般流动条件下，很难获得式(3-87)中的外力项的显式解析式，因而难以获得该方程的解析解。

在方程式(3-87)的推导过程中，采用颗粒近乎弹性 (1-e→0)的假定，舍去了1-e的同量级项及其高阶项。为了反映颗粒碰撞的非弹性对这种取舍的影响，Gidaspow(1994)在方程式(3-87)的左边经验性地增加了因子 (1+e)/2(即将稠密气体分子动理学理论中的χ 用g0(1+e)/2来近似替代)。这与王光谦 (1989)对颗粒相碰撞应力的类比处理是一样的。并且，如果忽略方程式 (3-87)中的外力相关项，采用Gidaspow关于颗粒碰撞恢复系数e的修正，就获得了快速颗粒流的二阶近似Boltzmann方程:

由式(3-87)求出小参数φ(1)的近似解，即可获得二阶近似的颗粒速度分布函数，并可进而获得脉动应力和脉动能脉动传导通量的本构关系。但在水沙两相流的条件下，小参数φ(1)所服从的积分形式的方程含有外力相关项，这是与快速颗粒流理论的结果所不同的。

颗粒所受外力Fi包括重力、水流施加的作用力等，与水流的脉动特性有关。当水流作用显著时，外力Fi将明显影响小参数φ(1)的解，从而影响到颗粒相的本构关系式。在一般流动条件下，很难获得式(3-87)中的外力项的显式解析式，因而难以获得该方程的解析解。(https://www.chuimin.cn)

在方程式(3-87)的推导过程中，采用颗粒近乎弹性 (1-e→0)的假定，舍去了1-e的同量级项及其高阶项。为了反映颗粒碰撞的非弹性对这种取舍的影响，Gidaspow(1994)在方程式(3-87)的左边经验性地增加了因子 (1+e)/2(即将稠密气体分子动理学理论中的χ 用g0(1+e)/2来近似替代)。这与王光谦 (1989)对颗粒相碰撞应力的类比处理是一样的。并且，如果忽略方程式 (3-87)中的外力相关项，采用Gidaspow关于颗粒碰撞恢复系数e的修正，就获得了快速颗粒流的二阶近似Boltzmann方程:

3.3.1.4　水沙两相流中的颗粒受力分析

为对水沙两相流中的泥沙颗粒进行受力分析，将液相水流速度和泥沙颗粒相速度都分解为平均速度和脉动速度:

3.3.1.4　水沙两相流中的颗粒受力分析

为对水沙两相流中的泥沙颗粒进行受力分析，将液相水流速度和泥沙颗粒相速度都分解为平均速度和脉动速度:

式中:ui、〈ui〉和Ui分别为水流的随机速度、平均速度和脉动速度。

需要注意的是，水流平均速度的定义仍为式(3-3)的形式，即该式中的φ 取水流随机速度ui。

将作用于单位质量颗粒上的外力Fi分解为与两相脉动速度无关的部分F0i和脉动速度相关项(傅旭东，2001;傅旭东和王光谦，2002):

式中:ui、〈ui〉和Ui分别为水流的随机速度、平均速度和脉动速度。

需要注意的是，水流平均速度的定义仍为式(3-3)的形式，即该式中的φ 取水流随机速度ui。

将作用于单位质量颗粒上的外力Fi分解为与两相脉动速度无关的部分F0i和脉动速度相关项(傅旭东，2001;傅旭东和王光谦，2002):

式中:F0i为作用于颗粒上的平均力，包括重力gi和液相的压强梯度力- (1/ρs)∂p/∂xi、阻力和升力等:

式中:F0i为作用于颗粒上的平均力，包括重力gi和液相的压强梯度力- (1/ρs)∂p/∂xi、阻力和升力等:

式(3-90)的右侧第二项表示与两项脉动速度差有关的脉动阻力，τp为颗粒驰豫时间;右侧第三项表示与两项脉动速度差有关的脉动升力，Li为与脉动速度无关的升力系数矢量，εijk为三阶置换张量。

由式(3-90)，可以分别计算得到:

式(3-90)的右侧第二项表示与两项脉动速度差有关的脉动阻力，τp为颗粒驰豫时间;右侧第三项表示与两项脉动速度差有关的脉动升力，Li为与脉动速度无关的升力系数矢量，εijk为三阶置换张量。

由式(3-90)，可以分别计算得到:

其中，〈UkVi〉为液相水流和泥沙颗粒脉动速度的耦合张量，与水沙之间的相间作用和各相的具体脉动特性有关。在当前条件下，该张量还没有很好的一般性表达式，Ma和Ahmadi(1988)曾给出〈UkVi〉的估计式如下:

其中，〈UkVi〉为液相水流和泥沙颗粒脉动速度的耦合张量，与水沙之间的相间作用和各相的具体脉动特性有关。在当前条件下，该张量还没有很好的一般性表达式，Ma和Ahmadi(1988)曾给出〈UkVi〉的估计式如下:

式中:τe为液相水流的紊流拉格朗日积分时间尺度。

采用上式的估计，则式(3-93)简化为:

式中:τe为液相水流的紊流拉格朗日积分时间尺度。

采用上式的估计，则式(3-93)简化为:

3.3.1.5　二阶近似的Boltzmann方程的简化条件

在气体分子动理学与快速颗粒流理论中，由于不考虑外力Fi的脉动速度相关性，二阶近似的Boltzmann 方程式 (3-87)中并不出现外力项相关项 (Gidaspow，1994;Chapman和Cowling，1970)。根据上面的颗粒受力分析，将式 (3-92)～式 (3-94)代入，可以写出这些外力相关项如下:

3.3.1.5　二阶近似的Boltzmann方程的简化条件

在气体分子动理学与快速颗粒流理论中，由于不考虑外力Fi的脉动速度相关性，二阶近似的Boltzmann 方程式 (3-87)中并不出现外力项相关项 (Gidaspow，1994;Chapman和Cowling，1970)。根据上面的颗粒受力分析，将式 (3-92)～式 (3-94)代入，可以写出这些外力相关项如下:

由上式可见，作用于颗粒上的外力与固液两相的脉动速度均有关，式 (3-87)中的含外力项实质上反映了这种相关性对Boltzmann方程式 (3-87)的解、进而对颗粒相速度分布函数的影响。原则上，液相水流脉动的影响可以通过分析流场中颗粒对液相脉动的响应特性来完全确定。

由于目前对两相脉动耦合作用还缺乏一致的认识，为简化起见，下面分析水沙两相脉动速度Ui和Vi成简单关系的极限情形:一种极限情形为两相脉动特性近乎相同，即Ui≈Vi;另一种极限情形为两相脉动速度近乎无关，亦即〈UiVi〉→0。

1.Ui≈Vi时

在该极限情形下，式(3-90)中的脉动升力项部分将消失，式(3-97)变为:

由上式可见，作用于颗粒上的外力与固液两相的脉动速度均有关，式 (3-87)中的含外力项实质上反映了这种相关性对Boltzmann方程式 (3-87)的解、进而对颗粒相速度分布函数的影响。原则上，液相水流脉动的影响可以通过分析流场中颗粒对液相脉动的响应特性来完全确定。

由于目前对两相脉动耦合作用还缺乏一致的认识，为简化起见，下面分析水沙两相脉动速度Ui和Vi成简单关系的极限情形:一种极限情形为两相脉动特性近乎相同，即Ui≈Vi;另一种极限情形为两相脉动速度近乎无关，亦即〈UiVi〉→0。

1.Ui≈Vi时

在该极限情形下，式(3-90)中的脉动升力项部分将消失，式(3-97)变为:

取Vi→Ui代入上式有:

取Vi→Ui代入上式有:

但是，在Ui≈Vi时，颗粒驰豫时间τp和液相紊动特征时间τe满足:τp≪τe，即τp亦趋于零。此条件下，式(3-98)的取值将取决于式 (3-99)和τp趋近于零的速度。若式(3-99)为τp的高阶小量，则式(3-99)的取值为零。

2.〈UiVi〉→0时

在该极限情形下，液相水流的脉动速度Ui与泥沙颗粒脉动速度Vi近似无关，颗粒驰豫时间τp和液相紊动特征时间τe满足:τp≫τe。由两相脉动速度的无关性和液相脉动速度的定义有:

但是，在Ui≈Vi时，颗粒驰豫时间τp和液相紊动特征时间τe满足:τp≪τe，即τp亦趋于零。此条件下，式(3-98)的取值将取决于式 (3-99)和τp趋近于零的速度。若式(3-99)为τp的高阶小量，则式(3-99)的取值为零。

2.〈UiVi〉→0时

在该极限情形下，液相水流的脉动速度Ui与泥沙颗粒脉动速度Vi近似无关，颗粒驰豫时间τp和液相紊动特征时间τe满足:τp≫τe。由两相脉动速度的无关性和液相脉动速度的定义有:

因此，Ui=0，ui= 〈ui〉。此极限条件下，显然有:

因此，Ui=0，ui= 〈ui〉。此极限条件下，显然有:

由上述分析可知，在极限情形〈UiVi〉→0下，二阶近似的Boltzmann方程 (3-87)中的外力项都可以忽略;在Ui≈Vi的极限情形下，式(3-99)和τp趋近于零的速度将决定方程式 (3-87)中的外力项是否可以忽略。显然，在外力项忽略时，方程式 (3-87)与快速颗粒流所满足的二阶近似的Boltzmann方程就具有相同的结构形式。

由上述分析可知，在极限情形〈UiVi〉→0下，二阶近似的Boltzmann方程 (3-87)中的外力项都可以忽略;在Ui≈Vi的极限情形下，式(3-99)和τp趋近于零的速度将决定方程式 (3-87)中的外力项是否可以忽略。显然，在外力项忽略时，方程式 (3-87)与快速颗粒流所满足的二阶近似的Boltzmann方程就具有相同的结构形式。