傅里叶光学原理与系统设计：二维傅里叶变换

2023-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：和一维情形类似，通过对F的二维傅里叶逆变换可恢复原函数f(x,y)。二维傅里叶变换运算举例设，求它的傅里叶变换。

1. 直角坐标系中的二维傅里叶变换

（1）二维傅里叶变换的定义

设f(x,y) 是定义在(x,y) 平面的空间函数，它的傅里叶变换存在，并用空间频率平面的二维函数F(μ,ν) 表示，于是有

F(μ ,ν)称为f(x,y)的空间频谱。和一维情形类似，通过对F(μ ,ν)的二维傅里叶逆变换可恢复原函数f(x,y)。

（2）可分离变量函数的二维傅里叶变换

有一类二维函数具有可分离变量性质，即

由于二维傅里叶变换核也具有可分离变量性质，所以f(x,y) 的二维傅里叶变换可表示为两个一维傅里叶变换的乘积式（1-99）表明，二维可分离变量函数的傅里叶变换也是二维可分离变量函数。应用这一性质可简化运算。

（3）二维傅里叶变换运算举例

设，求它的傅里叶变换。

2. 极坐标系中的二维傅里叶变换

（1）定义利用直角坐标与极坐标的坐标变换公式，可直接从直角坐标系中的二维傅里叶变换导出极坐标系中二维傅里叶变换的公式。设(x,y) 平面的极坐标为(r ,θ)，频率平面(μ,ν)的极坐标为(ρ,φ)，坐标变换公式为

代入式（1-96）和式（1-97），并令F(μ ,ν)=F(ρcos φ ,ρ sin φ)=G(ρ ,φ),f(x ,y)= f(rcos θ,rsin θ)=g(r,θ)，于是极坐标系中二维傅里叶变换和傅里叶逆变换可表示为

（2）圆对称函数的傅里叶变换(www.chuimin.cn)

当二维函数具有圆对称性时，应用极坐标表示具有十分明显的优越性，此时g(r ,θ)与θ无关，可表示为g(r,θ)=g R(r)，将它代入式（1-100），可得

利用贝塞尔函数的性质式（1-75），并令其中参数x=-2πrρ，于是有

上式表明，圆对称函数的傅里叶变换仍然是圆对称的，即函数G(ρ ,φ)与φ无关，可写成G P(ρ)，于是得出

类似地，可导出圆对称频谱分布G P(ρ)的傅里叶逆变换为

式（1-102）和式（1-103）表示的圆对称函数的傅里叶变换又称为傅里叶-贝塞尔变换或零阶汉克尔变换。

（3）运算举例

设表示半径为ε的圆孔函数，代入式（1-102），其傅里叶变

换可写成

令r′=2πrρ，通过变量置换，上式成为

利用贝赛尔函数的积分性质式（1-71），上式的积分结果为

在直角坐标系中可表示为

这一结果将在讨论圆孔的夫琅和费衍射及光学系统分辨本领时得到应用。