定义9.3 设n阶方阵
定义矩阵A的行列式为
其中的和号∑是对所有的n级排列j1j2…jn的总共n！项求和.
A是n阶矩阵时，A的行列式也称为n阶行列式.上述定义表明，n阶行列式等于所有不同行不同列的n个元素乘积的代数和，其符号在行下标为自然顺序排列的情况下，由列下标排列的逆序数来确定.
例9.5 计算四阶方阵
的行列式|A|.
解：这是一个四阶行列式，其值应为24项乘积的代数和.但由于A有很多的元素为零，容易看到乘积不为零的项只有一项a14a23a32a41.又由于τ（4321）=6，所以该项的符号为正，因此|A|=24.
对于n阶行列式中的任意一项
，对换上述乘积中两元素的位置，不改变其积.但可以将列下标排为自然顺序，即有(www.chuimin.cn)
当列下标排列j1j2…jn经若干次对换，变为自然顺序排列时，通过同样的对换，行下标由自然顺序排列变为i1i2…in，从而由前面的推论9.1知
.由此可得：
定理9.2n阶方阵A的行列式可定义为
其中的和号∑是对所有的n级排列i1i2…in求和.
习题
9.3.1. 利用行列式的定义计算下列行列式的值.
9.3.2. 利用行列式的定义证明：
9.3.3. 若i1i2…in与j1j2…jn均为n-排列，证明：在n阶行列式的定义中，项
的符号是
.
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，xn）.解此递推关系可以得到例9.15 计算n阶行列式.解：将这个行列式的每一列都拆为两列，进而把行列式分成2n个行列式之和.当n>2时，它们中的每一个都有两列成比例.因此，行列式等于零.当n=1时，行列式等于a1+b1.当n=2时，行列式等于.例9.16 设四阶方阵，计算行列式|A|.解：由于所以|A|2=|A||AT|=|AAT|=4.再因为|A|中a4的系数为正，所以，|A|=2.例9.17 计算n阶循环行列式.解：这里我们记，以ζk=ζk，k=1，2，…......
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