1.问等式
N=∏（1+α+α4）=833
是否可能成立？其中的乘积取遍α49=1除1以外的全部根.
[1]MAA.problem 6044[J]，Amer Math Monthly，1975，82.
2.设一元n次多项式f（x）在复数范围内的标准分解式是
其中α1，α2，…，αs是f（x）的全部不同复根，而次数n1+n2+…+ns=n.称多项式
f0（x）=（x-α1）（x-α2）…（x-αs）
为多项式f（x）的根多项式，其次数是多项式f（x）的不同根的个数，记作n0（f），即
n0（f）=degf0（x）=s.
Mason（1981）-Stother（1983）定理 设多项式f（x），g（x），h（x）都是不为常数的互素的复系数多项式，且满足条件f+g=h，那么
max{degf，degg，degh}≤n0（fgh）-1.
利用Mason-Stother定理证明下面定理.
（1）（Fermat-Wiles定理的多项式形式）若n>2是一个正整数，那么多项式方程
x（t）n+y（t）n=z（t）n
在复系数多项式范围内没有非常数解.
（2）（Catalan-Mihailescu定理的多项式形式）若m，n都是大于2的正整数，则多项式方程
f（x）m-g（x）n=1
在复系数多项式范围内没有非常数解.
（3）（Devenport定理）若f和g是两个互素的且满足f3-g2≠0的不为常数的多项式，则有
[1]SLang.大学生数学专题讲座[M].马进喜，译.北京：机械工业出版社，2002.
[2]M BNathanson.Elementary Methods in Number Theory，GTM195[M].Berlin：Springer，2000.
3.满足条件：F1=F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2，n≥2，的数列{Fn}称为Fi-bonacci数列.
这个数列是意大利比萨的Leonardo Pisano在1202年出版的重要的代数学著作《计算之书》中给出的，而Fibonacci是他的绰号.在《计算之书》中Fibonacci提出一个问题：兔子出生以后两个月就可以生小兔，且一对兔子每月恰好生一对兔子.若现在有一对兔子，那么12个月后将有多少对兔子？这个问题的解答就是Fi-bonacci数列.
这个数列有许多有趣的组合解释.1960年，美国创刊一本名为Fibonacci Quar-terly的杂志，专门刊登研究这个数列的论文.
为研究这个数列的性质，引入两个矩阵如下：
证明：
（1）Qn+1=AnQ1；
（3）F1+F2+…+Fn=Fn+2-1；
（4）F1+F3+…+F2n-1=F2n；
（5）F2+F4+…+F2n=F2n+1-1；
（6）FmFn+1+Fm-1Fn=Fm+n；
（7）Fn+1Fn-1-F2n=（-1）n；
（8）利用矩阵研究{Fn}的更多的性质.
[1]瓦罗别耶夫.斐波那契数列[M].周春荔，译.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2010.
[2]周持中.斐波那契-卢卡斯序列及其应用[M].长沙：湖南科学技术出版社，1993.
4.由u0，u1，un=aun-1+bun-2，n≥2，定义的数列称为二阶线性递推数列，利用矩阵的方法研究这个数列的各种性质.
[1]P Ribenboim.My Number，My Friends[M].Berlin：Springer，2000.
5.1970年，C.R.Johnson引入实正定矩阵的概念.
定义：设A是n阶实方阵，如果对于任意的n维非零实向量x总有xTAx>0，那么，就称A为实正定矩阵.
显然，这个定义不要求矩阵A的对称性.试研究实正定矩阵的各种性质和判定条件.(www.chuimin.cn)
[1]C R Johnson.Positive definite matrices[J].Amer Math Monthly，1970，77：259-264.
6.定义：若实方阵的所有顺序主子式都大于零，则称之为主正阵.若实方阵的所有主子式都大于零，则称之为完全主正阵.
证明S下面一些结论.
（1）主正阵的任何顺序主子阵仍是主正阵；完全主正阵的任何主子阵仍是完全主正阵.
（2）主正阵的转置阵仍是主正阵；完全主正阵的转置阵仍是完全主正阵.
（3）设A是完全主正阵，P是排列阵，那么PTAP是完全主正阵.
（4）完全主正阵没有负实特征根.
（5）完全主正阵的逆矩阵仍是完全主正阵.
[1]屠伯壎.主正阵与完全主正阵（I）[J].数学年刊：A辑，1989，10（6）：733-741.
7.设矩阵A=（aij），B=（bkl），称分块矩阵（aijB）为矩阵A与B的Kronecker积，或者张量积，记作：A⊗B.例如，
那么
研究Kronecker积的性质.
（1）证明：
（ⅰ）（A1±A2）⊗B=A1⊗B±A2⊗B；
（ⅱ）A⊗（B1±B2）=A⊗B1±A⊗B2；
（ⅲ）cA⊗B=A⊗cB=c（A⊗B）；
（ⅳ）（A1⊗B1）（A2⊗B2）=A1A2⊗B1B2.
（2）若A与B分别是m阶与n阶方阵，证明：|A⊗B|=|A|n|B|m.
（3）若矩阵A与B都可以对角化，那么它们的Kronecker积A⊗B也可以对角化.
（4）若矩阵A1与B1相似，A2与B2相似，那么A1⊗A2与B1⊗B2也相似.
（5）若矩阵A与B都是正定矩阵，那么A⊗B也是正定矩阵.
8.所有元素都是1或者-1，且任意两行相互正交的n阶方阵称为n阶Hadamard矩阵，例如：
等等.Hadamard矩阵有很多重要的应用.一个著名的猜想是：若n≡0（mod4），那么一定存在n阶Hadamard矩阵.
研究Hadamard矩阵的性质，并决定出阶数较低的全部Hadamard矩阵.
[1]魏万迪.组合论：下册[M].北京：科学出版社，1987.
[2]冯克勤，廖群英.有限域及其应用[M].大连：大连理工大学出版社，2011.
9.行列式有许多重要的应用，例如，可以用行列式来证明恒等式.利用行列式证明下列一些恒等式：
（1）若a，b，c是互不相同的数，证明：
（2）若a，b，c是互不相同的数，证明：
（3）对任意的a，b，c都有
a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）.
10.由行列式可以定义一些数列，例如利用n阶行列式定义斐波那契数列如下：
这样的定义还会有很多.研究这些不同的定义，并研究斐波那契数列的性质.
11.设矩阵A=（aij）m×n，B=（bij）m×n，定义矩阵A与B的Hadamard积为A°B=（aijbij）.研究矩阵的Hadamard积的各种性质.
J.S.Hadamard，1865.12.8—1963.10.17.法国著名数学家，他最重要的数学成就是在1896年与比利时数学家De La Vallee Poussin各自独立证明了素数定理.
12.研究幂等矩阵、对合矩阵、幂零矩阵的各种性质.
13.若实方矩阵A=（aij）n满足条件
ai，j=an-i+1，n-j+1，
则称之为中心对称矩阵.研究这种矩阵的性质.
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