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一阶微分方程-可分离变量的通解

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：首先研究最简单的一阶微分方程，即可分离变量的微分方程.一、可分离变量的方程可以化成形如形式的方程称为可分离变量的微分方程.对M（x）dx=N（y）dy两端分别积分，便得方程的通解：∫M（x）dx=∫N（y）dy+C（C是任意常数）.例1 求方程（1+y2）dx-x（1+x2）ydy=0的通解.解用x（1+x2）（1+y2）除方程两边整理得两边积分因为，，所以即，或，通解为（1+x2）（1+y2）

首先研究最简单的一阶微分方程，即可分离变量的微分方程.一、可分离变量的方程

可以化成形如

形式的方程称为可分离变量的微分方程.

对M（x）dx=N（y）dy两端分别积分，便得方程的通解：

∫M（x）dx=∫N（y）dy+C（C是任意常数）.

例1 求方程（1+y²）dx-x（1+x²）ydy=0的通解.

解用x（1+x²）（1+y²）除方程两边整理得

两边积分

因为，，

所以

即，或，

通解为（1+x²）（1+y²）=Cx².此外方程还有解x=0.

例2 设推广某项新技术时，需要推广的总人数为N，t时刻已掌握技术的人数为P（t），新技术推广速度与已推广人数和待推广人数成正比，即有微分方程

其中，k为比例常数（此方程称为自我抑制性方程也叫逻辑斯蒂增长模型，它是经济学中常遇到的数学模型），试求解该微分方程.

解将该方程变形为

两边积分得

整理得通解

例3 某公司t年净资产有W（t）（单位：百万元），并且资产以每年5%的速度连续增长，同时该公司每年要以30（百万元）的数额连续支付职工工资.

1）给出描述净资产W（t）的微分方程；2）假设初始净资产为W₀，求解微分方程；3）讨论在W₀=500、600、700这3种情况下，W（t）的变化特点.

解 1）利用平衡法，

即净资产增长速度=资产本身增长速度-职工工资支付速度得到方程

即

2）对上式两边积分，得

ln|W-600|=0.05t+lnC，于是

|W-600|=Ce^0.05t，或

W-600=ae^0.05t（a=±C），将W（0）=W₀代入，得方程特解

W=600+（W₀-600）e^0.05t.

在上式推导过程中W≠600，当W=600时，有

=0，可知W=600=W₀，通常称为平衡解，可见平衡解已包含在了通解之中.

3）由通解表达式可知，当W₀=500时，净资产额单调递减，公司将在第36年破产；当W₀=600时，公司将收支平衡，净资产将保持在600（百万元）不变；当W₀=700时，净资产额将按指数不断增长.

例4 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时（t=0）速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系.

解设降落伞下落速度为v（t）.降落伞在空中下落时，同时受到重力P与阻力R的作用（见图6-1）.重力大小为mg，方向与v一致；阻力大小为kv（k为比例系数），方向与v相反，从而降落伞所受外力为

F=mg-kv.

根据牛顿第二运动定律

F=ma.

（其中a为加速度），得函数v（t）应满足的方程为

按题意，初始条件为

v|_t=0=0.

图6-1

方程（6-3）是可分离变量的，分离变量后得

两端积分，考虑到mg-kv＞0，得

即，或这就是方程（6-3）的通解.

将初始条件v|_t=0=0代入式（6-4）得

于是所求的特解为

由式（6-5）可以看出，随着时间t的增大，速度v逐渐近于常数，且不会超过，即跳伞后开始阶段是加速运动，但以后逐渐接近于匀速运动.

例5 有高为100cm的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1cm²（见图6-2）.开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h（水面与孔口中心间的距离）随时间t的变化规律，并求水流完所需的时间.

解由物理学知识可知，水从孔口流出的流量（即通过孔口横截面的水的体积V对时间t的变化率）Q可用下列公式计算：

其中，k为流量系数，由实验测得k=0.62，S为孔口横截面的面积，g为重力加速度.

图6-2

另一方面，设在微小时间间隔[t，t+dt]内，水面高度由h降至h+dh（dh＜0），则又可得到

dV=-πr²dh （6-7）

其中，r是时刻t的水面半径（见图6-2），等式的右端置负号是由于dh＜0而dV＞0的缘故.又因为

所以式（6-7）变成

dV=-π（2h-h²）dh （6-8）

比较式（6-6）和式（6-8）两式，得

这就是未知函数h=h（t）应满足的微分方程.

此外，开始时容器内的水是满的，所以未知函数h=h（t）还应满足下列初始条件：

h|_t=0=1. （6-10）

方程（6-9）是可分离变量的，分离变量后得

两端积分，得

其中，C是任意常数.

把初始条件式（6-10）代入式（6-11），得

把所得的C值代入式（6-11）并化简，得

以k=0.62，S=10^-4m²，g=9.8m/s²代入上式，计算后可得

上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h与时间t之间的函数关系.由此可知水流完所需的时间为

t=1.068×10⁴s=2h58min.

这里还要指出，在本例是通过对微小量dV的分析得到微分方程（6-9）的，这种微小量分析的方法，也是建立微分方程的一种常用方法.

二、齐次微分方程

形如

的一阶微分方程称为齐次微分方程.

对方程作变量代换，则y=xu，两端对x求导数，得

又因为

于是

从而有

因此，方程通过变量代换可化为可分离变量的方程.两边分别积分，得

求出积分后，再用代替u，便得方程的通解.

例6 求微分方程满足y（e）=2e的特解.

解微分方程可化为

令，则，代入上式，得

即

两边积分，得

u²=2lnx+C，所以原方程的通解为

y²=2x²lnx+Cx²，代入初始条件，解得C=2，故所求特解为

y²=2x²lnx+2x².

例7 求微分方程的通解.

解将方程改写为，故原方程为齐次方程.作变量代换，令，则x=uy，两端求导，得，将上式代入方程，化简可得

(www.chuimin.cn)

两端分别积分，得

或

从而得

将

代入并整理，得原方程通解

.

例8 探照灯的聚光镜的镜面是一个旋转曲面，它的形状是由Oxy坐标系上的曲线L绕x轴旋转而成的.按聚光镜性能的要求，其旋转轴（x轴）上一点O处发出的一切光线，经它反射后都与旋转轴平行.求曲线L的方程.

解将光源所在的O点取作坐标原点（见图6-3），且曲线L位于y≥0范围内.

设点M（x，y）为L上的任意一点，点O发出的某条光线经点M反射后是一条与x轴平行的直线MS.又设过点M的切线AT与x轴的夹角为α.根据题意∠SMT=α.另一方面，∠OMA是入射角的余角，∠SMT是反射角的余角，于是由光学中的反射定律有∠OMA=∠SMT=α.从而AO=OM，但AO=AP-OP=，而，于是得微分方程

图6-3

把x看做因变量，y看做自变量，当y＞0时，上式即为

这就是齐次方程.令，则x=yv，代入上式，得

即，分离变量，得.

积分，得，或.

由，得，

以yv=x代入上式，得

曲线L是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线.三、一阶线性微分方程

形如

的微分方程，称为一阶线性微分方程.其中，P（x）和Q（x）都是x的已知连续函数.

特别地，若Q（x）≡0，方程（6-12）变为

式（6-13）称为一阶线性齐次方程.

当Q（x）不恒为零时，方程（6-12）称为一阶线性非齐次方程.

1.一阶线性齐次微分方程的通解

方程（6-13）是可分离变量的方程，当y≠0时可化为

两边积分，得

故一阶线性齐次方程的通解为

2.一阶线性非齐次微分方程的通解

为求得一阶线性微分方程式（6-12）的通解，将式（6-14）中的任意常数换成未知函数C（x），即设

y=C（x）e^{-∫P（x）dx} （6-15）

是非齐次方程式（6-12）的形式的解，将式（6-15）以及它的导数y′=C′（x）e-∫P（x）dx-C（x）·P（x）e-∫P（x）dx代入方程式（6-12）中，得

C′（x）e^{-∫P（x）dx}-C（x）·P（x）e^{-∫P（x）dx}+C（x）P（x）e^{-∫P（x）dx}=Q（x）.

即

C′（x）e^{-∫P（x）dx}=Q（x），或C′（x）=Q（x）e^{∫P（x）dx}.

两端积分，得C（x）=∫Q（x）e^{∫P（x）dx}dx+C₁.

所以线性非齐次微分方程式（6-12）的通解为

这种求非齐次微分方程通解的方法，叫做常数变易法.式（6-16）为一阶线性非齐次微分方程的求解公式.

例9 求方程xy′+y=e^x的通解.

解对应的齐次方程为

分离变量，得

两边积分，得

令是原方程的解，代入到非齐次方程，得C′（x）=e^x，故C（x）=e^x+C，

故原方程的通解为

例10 解方程.

解，，，，e^{∫P（x）dx=}（x+l）²．

方程的通解为

例11 设y=e^x是微分方程xy′+u（x）y=x的一个解，求此微分方程满足条件y（ln2）=0的特解.

解将y=e^x代入方程xy′+u（x）y=x，得

u（x）=xe^-x-x.

所以原微分方程变为

xy′+（xe^-x-x）y=x，即

方程的通解

代入初始条件，解得C=-，故所求特解为

例12 设f（x）为连续函数，且满足

,求f（x）.

解方程两边对x求导，得

f′（x）=e^x+f（x），即

f′（x）-f（x）=e^x.

若记y=f（x），则上式变为

y′-y=e^x，这是一阶线性非齐次微分方程，P（x）=-1，Q（x）=e^x，由求解公式可得

f（x）=（x+C）e^x.

由于在原方程中，有f（0）=1，代入上式，得C=1，于是有

f（x）=（x+1）e^x.

例13 某商品在t时刻的售价为P，社会对该商品的需求量和供给量分别是关于P的函数Q（P）和S（P），则在t时刻的价格P（t）对于时间t的变化率可以认为与该商品在同一时刻的超额需求量Q（t）-P（t）成正比（设比例系数为k），即有关系式

若Q（P）=c-dP，S（P）=-a+bP，这里a，b，c，d都是已知正的常数，且初始价格为P（0），试求价格P（t）的表达式.

解将Q（P）=c-dP，S（P）=-a+bP代入=k[Q（P）-S（P）]中，并整理，得，

若记m=k（a+c），n=k（b+d），则上式变为

容易求得该方程的通解为

由初始价格P（0）=P₀，则得价格P（t）的表达式为

例14 假设某公司的净资产因资产本身产生了利息而以5%的年利率增长，同时，该公司还必须以每年200百万元的数额连续地支付职员工资.

1）求出描述公司净资产w（以百万元为单位）的微分方程；

2）解上述微分方程，这里假设初始净资产为w₀（百万元）.

解 1）现在用分析法来解此问题.为给净资产建立一个微分方程，将使用下面这一事实，即

净资产增长的速度=利息盈取速度-工资支付率.

以每年百万元为单位，利息盈取的速率为0.05w，而工资的支付率为每年200万元，于是我们有.其中，t以年为单位.

2）分离变量，有，

积分得ln|w-4000|=0.05t+C，

于是w-4000=Ae^0.05t，A=±e^C.

当t=0时w=w₀，有A=w₀-4000，代入解中，得

w=4000+（w₀-4000）e^0.05t.四、可化为一阶线性方程的方程——伯努利（Bernoulli）方程

形如

y′+P（x）y=Q（x）y^α（α为常数，且α≠0，1）的微分方程称伯努利方程.

将方程两端除以y^α，得到

y^-αy′+P（x）y^1-α=Q（x）.

令y^1-α=z，有

这是一个线性方程，可以求解.求出z之后，再用y带回，即得伯努利方程的解.

例15 求解微分方程.

解这是一个伯努利方程，令z=y^-2，则有.

这是一阶线性方程，解之得z=e^-x2（2x+C），

将z换成y^-2，即得原方程的通解为y²=e^x2（2x+C）-1.