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解含参数的线性方程组|张宇线代9讲

2023-11-21 理论教育版权反馈

【摘要】：，n）不全为零，不妨设a1≠0，得原方程组的一个基础解系为当时，有b≠0，原方程组的系数矩阵可化为由此得原方程组的同解方程组为x2＝x1，x3＝x1，…，1］T.本题是n个方程n 个未知数，且系数矩阵是特殊形式，故可利用行列式去分析解的情况.例5.5 k为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多解？

（1）将系数矩阵（齐次方程组）或增广矩阵（非齐次方程组）先用初等行变换化为阶梯形，再用方程组理论判别、求解.

【注】若不能化成（或很难化成）阶梯形，只要所得矩阵对应的方程组与原方程组同解又易于求解，不化成阶梯形也罢.

见例5.5，例5.6，例5.7（2）.

（2）“方形”（方程个数＝未知数个数）的方程组.

①≠0⇔方程组有唯一解⇔λ不是f（λ）的零点.此时可用克拉默法则求解.

②＝0⇔λ是f（λ）的零点.得出这些零点λ0 后，逐个代入方程组，再求解.

③注意这个知识点的变体形式：含参数的向量之间的关系.

见例5.4，例5.7（1）.

例5.4 已知齐次线性方程组

其中 pagenumber_ebook=85,pagenumber_book=77 ，讨论a1，a2，…，an 和b满足何种关系时，

（1）方程组仅有零解；

（2）方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.

【解】方程组的系数行列式

（1）当b≠0且时，r（A）＝n，方程组仅有零解.

（2）当b＝0时，原方程组的同解方程组为a1x1＋a2x2＋…＋anxn＝0，由 pagenumber_ebook=86,pagenumber_book=78 可知，ai（i＝1，2，…，n）不全为零，不妨设a1≠0，得原方程组的一个基础解系为

当时，有b≠0，原方程组的系数矩阵可化为

由此得原方程组的同解方程组为x2＝x1，x3＝x1，…，xn＝x1，原方程组的一个基础解系为α＝［1，1，…，1］T.

【注】本题是n个方程n 个未知数，且系数矩阵是特殊形式，故可利用行列式去分析解的情况.

例5.5 k为何值时，线性方程组

有唯一解、无解、有无穷多解？在有解情况下，求出其全部解.

【解】对方程组的增广矩阵作初等行变换，有

①当k≠－1且k≠4时，有r（A）＝r（B）＝3，故方程组（*）有唯一解，按如下方法求出：

②当k＝－1时，r（A）＝2≠r（B）＝3，方程组无解.

③当k＝4时，由（**）式，有 pagenumber_ebook=87,pagenumber_book=79 ，知r（A）＝r（B）＝2＜3（未知量个数），故方程组（*）有无穷多解.此时，得同解方程组

令x3＝C，得方程组（*）的全部解为(www.chuimin.cn)

例5.6 已知a是常数，且矩阵 pagenumber_ebook=87,pagenumber_book=79 可经初等列变换化为矩阵

（1）求a；

（2）求满足AP＝B的可逆矩阵P.

【解】（1）对矩阵A，B分别施以初等行变换，得

由题设知r（A）＝r（B），故a＝2.

（2）由（1）知a＝2.对矩阵［A┊B］施以初等行变换，得

记B＝［β1，β2，β3］，由于

故AX＝B的解为

其中k1，k2，k3 为任意常数.

由于，所以满足AP＝B的可逆矩阵为

其中k1，k2，k3 为任意常数，且k2≠k3.

例5.7 设 pagenumber_ebook=88,pagenumber_book=80 .已知线性方程组Ax＝b存在两个不同的解.

（1）求λ，a；

（2）求方程组Ax＝b的通解.

【解】（1）因为非齐次线性方程组Ax＝b有两个不同的解，即解不是唯一的，所以系数行列式

解得λ＝－1或1（二重）.

当λ＝1时，对方程组Ax＝b的增广矩阵作初等行变换，有

则其增广矩阵的秩为2，系数矩阵A的秩为1，方程组Ax＝b无解，故λ＝1应舍去.

当λ＝－1时，对方程组Ax＝b的增广矩阵作初等行变换，有

因为方程组Ax＝b有解，所以a＋2＝0，即a＝－2.综上，λ＝－1，a＝－2.

（2）当λ＝－1，a＝－2时，继续对（1）中的矩阵B作初等行变换，得

于是方程组Ax＝b的通解为

其中k为任意常数.