一、无穷小定义1.18 若，则称f（x）是当x→x0时的无穷小量，又称无穷小.在上述定义中，将x→x0换成x→x0+，x→x0-，x→+∞，x→-∞，x→∞以及n→∞，可定义不同形式的无穷小.例如：当x→0时，函数x3，sinx，tanx都是无穷小.当x→+∞时，函数，，都是无穷小.当n→∞时，数列，，都是无穷小.无穷小是极限为零的变量，而不是“很小的数”.除零之外的任何常数，无论它的绝对值怎么小......
2023-11-22
高等数学基础：无穷大、无穷小及比较
【摘要】：一、无穷小（一）定义1若lim x→x0f（x）=0，则称函数f（x）是x→x0时的无穷小量（或无穷小）.注：无穷小是对一个函数而言的，是一个动态的变量.无穷小量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷小量，任何非零常量都不是无穷小，在谈及无穷小量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势.（二）性质定理1有限个无穷小的和也是无穷小.定理2常数与无穷小的乘积是无穷小.定理
一、无穷小
（一）定义1 若lim x→x0f（x）=0，则称函数f（x）是x→x0时的无穷小量（或无穷小）.
注：无穷小是对一个函数而言的，是一个动态的变量.无穷小量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷小量，任何非零常量都不是无穷小，在谈及无穷小量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势.
（二）性质
定理1 有限个无穷小的和也是无穷小.
定理2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
定理3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
注：利用定理4也是求极限的一种方法.
二、无穷大
（2）由对数函数的性质可知，当x→+∞时，log2x→+∞，当x→+∞时，函数log2x为正无穷大量.
（3）由y=2x的图形可知，x→-∞，y=2x→0.
三、无穷小的比较(www.chuimin.cn)
①若l=0，则称α（x）为β（x）当x→x0时的高阶无穷小，记作α（x）=O（β（x）），同时也称β（x）是α（x）的低阶无穷小.
②若l≠0，则称α（x）与β（x）当x→x0时是同阶无穷小量，记作α（x）=O（β（x）），特别的是，当l=1时，则称α（x）与β（x）当x→x0时是等价无穷小量，记作α（x）～β（x）.
例如当x→0时，sinx是x的等价无穷小，x2是x的高阶无穷小.
所以当x→2时，x2-4是x-2的同阶无穷小量.
四、等价代换
定理6 设α～α′，β～β′，当x→x0时：
用等价无穷小可以求极限，本书中常用的等价无穷小量有：
当x→0时，sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，
注：利用等价代换也是求极限的一种方法.
在计算极限过程中，可以把乘积因子中极限不为零的部分用其极限值替代，如上例中的乘积因子cosx用其极限值1替代，以简化计算.
习题1.6
1.计算下列极限：
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