要比较准确地描绘出一般函数的图形，仅用描点作图是不够的，为了提高作图的准确性，可将前面讨论的函数性态应用到曲线的作图上，即先利用函数的一阶、二阶导数，分析函数的单调性、极值、凹凸性与拐点等整体性态，并求出曲线的渐近线，然后再描点作图，称这种作图的方法为分析作图法.其一般步骤如下：（1）确定f（x）的定义域、间断点，并讨论函数的奇偶性、周期性.（2）在定义区间内求函数f（x）的一阶、二阶导数为零或不......
2025-09-30
高数上册：平面曲线的弧长
【摘要】：平面曲线的长度称为弧长.由于曲线的弧长具有可加性，下面用元素法来讨论平面曲线弧长的计算公式.设曲线弧由直角坐标方程y＝f（x）（a≤x≤b）给出，其中f（x）在［a，b］上具有一阶连续导数，求曲线L的弧长s.如右图6－20所示，取x为积分变量，则积分区间为［a，b］，任取区间［x，x＋dx］［a，b］，由弧微分公式可知弧长元素为图6－20故曲线弧长为若平面曲线L由参数方程给出，x＝φ（x），y＝ψ
平面曲线的长度称为弧长.由于曲线的弧长具有可加性，下面用元素法来讨论平面曲线弧长的计算公式.
设曲线弧由直角坐标方程y＝f（x）（a≤x≤b）给出，其中f（x）在［a，b］上具有一阶连续导数，求曲线L的弧长s.
如右图6－20所示，取x为积分变量，则积分区间为［a，b］，任取区间［x，x＋dx］⊂［a，b］，由弧微分公式可知弧长元素为
图6－20
故曲线弧长为
若平面曲线L由参数方程
给出，x＝φ（x），y＝ψ（t）在［α，β］上具有连续导数.此时弧微分为
从而所求弧长为
若平面曲线L由极坐标方程ρ＝ρ（θ）（α≤θ≤β）给出，ρ（θ）在［α，β］上具有连续导数.则对应的弧微分为
从而所求弧长为
例12 计算曲线
上相应于x从a到b的一段弧的长度.
解 
从而弧长元素
因此所求弧长为(https://www.chuimin.cn)
例13 计算摆线x＝a（θ－sinθ），y＝a（1－cosθ）的一拱（0≤θ≤2π）的长度.
解 弧长元素为
由此，所求弧长为
例14 设曲线L的方程为
求曲线L的长度.
解 弧长元素为
由此，所求弧长为
例15 求阿基米德螺线ρ＝aθ（a＞0）相应于θ从0到2π一段的弧长（图6－21）.
图6－21
解 弧长元素为
于是，所求弧长为
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