计算机内部的二进制数表示方法

2023-11-18 理论教育版权反馈

【摘要】：实际使用的二进制数可分为二进制整数和二进制实数两种，在计算机内部，分别用定点数和浮点数表示二进制整数和二进制实数。在计算机内部具体表示一个浮点数时，必须指定该浮点数的小数点位置，通常是把所有尾数都看成小数。图2-4 浮点数的格式根据图2-4 的浮点数格式，二进制数﹣0.1001×210在计算机中的浮点数形式就是01011001。目前使用的计算机中表示浮点数的编码长度大都是32位或64位。

实际使用的二进制数可分为二进制整数和二进制实数两种，在计算机内部，分别用定点数和浮点数表示二进制整数和二进制实数。

1.定点数

定点数是指小数点的位置固定不变。在计算机中，通常用定点数表示二进制整数，因此定点数的小数点位置通常固定在数值的最后。一个8位长度的定点数表示格式见图2-2。其中，小数点的位置是隐含表示的，实际表示中不需要专门表示出小数点；符号位为0表示该数为正数，符号位为1表示该数为负数。

图2-2 定点数的格式

这样，二进制整数＋1001001 的计算机内部定点数形式就是0 1001001；二进制整数1001001的计算机内部定点数形式就是11001001。

当人在纸上表示数值时，由于纸这种资源非常充分，所以在感觉上，人可以表示任意位数的数值。但是在计算机中，一旦确定了定点数的位数（即长度），它所能表示的数值范围就是固定的。例如，图2-2所示的8位长度的定点数所能表示的绝对值范围为

00000000～11111111

即0～28﹣t。

如果按照符号位为0表示正数，符号位为1表示负数，则图2-2所示的8位长度的定点数所能表示的数值范围为

﹣11111111～＋1111111

即﹣27﹣1～＋27﹣t。

2.浮点数

任何一个十进制实数都可以有以下不同的表示形式：

﹣34.62＝﹣3462×10﹣2＝﹣0.3462×102＝﹣3.462×101

同样，二进制实数也可以用上述方法表示，例如：(www.chuimin.cn)

﹣10.01＝﹣1001×2﹣10＝﹣0.1001×210＝﹣1.001×21（注意：此式中的指数是二进制）

上述表示法称作记阶表示法。记阶表示法如图2-3所示。在记阶表示法中，数由五部分组成：尾符、尾数、阶符、阶数、基数。

图2-3 记阶表示法

在图2-3中，基数2是固定不变的，当我们已经确定一个实数是二进制实数时，就可以省去该基数。所以，在计算机内部表示二进制实数时，可由尾符、尾数、阶符、阶数四部分组成。由于这样的表示法中小数点的位置是浮动的，所以这样表示的二进制数也称作浮点数。在计算机内部具体表示一个浮点数时，必须指定该浮点数的小数点位置，通常是把所有尾数都看成小数。这样，计算机内部浮点数的表示格式就如图2-4所示。其中，阶符和尾符都是0表示正数，1表示负数。

图2-4 浮点数的格式

根据图2-4 的浮点数格式，二进制数﹣0.1001×210在计算机中的浮点数形式就是01011001。

用记阶表示法表示数时，相同的数可以有许多种不同的形式。例如：

﹣0.1001×210＝﹣0.01001×211＝﹣0.001001×2100＝…

而用浮点方法表示上述不同形式的数时，所需要的编码长度是不相同的。例如，用浮点数表示﹣0.1001×210时，尾数需要4位，阶数需要2位；用浮点数表示﹣0.01001×211时，尾数需要5位，阶数需要2位；用浮点数表示﹣0.001001×2100时，尾数需要6位，阶数需要3位。但是，存储设备的位数是有限的，当超出其位数范围时，多余的部分将丢失。例如，当用尾数位只有4位，阶数位只有2位的浮点数格式表示﹣0.001001×2100时，数据必定出错。为了有效的表示二进制数，通常规定尾数的第一位不能为0，即小数点后的数值不能为0。此种形式的浮点数称为规范化的浮点数。例如，﹣0.1001×210就可以直接表示成规范化的浮点数，其浮点数形式是01011001，而﹣0.01001×211和﹣0.001001×2100就不可以直接表示成规范化的浮点数，需要做适当的转换。

上面举的浮点数例子都是8位编码长度的，其表示的数值范围非常有限。目前使用的计算机中表示浮点数的编码长度大都是32位或64位。

我们知道，两个记阶表示法表示的实数可以进行四则运算。其中加法的运算方法是：首先使两个实数的阶码值相同，然后把两个实数的尾数相加。例如：

0.0041×101＋1.14×102＝0.00041×102＋1.14×102＝1.14041×102

两个浮点数的相加也是按照同样的方法完成的。

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