应用多元统计分析：主成分分析的实例

2023-11-18 理论教育版权反馈

【摘要】：那就是这些被选的主成分所代表的主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分．有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主轴长度之和的大约80%即可．其实，这只是一个大体的说法；具体选几个，要看实际情况而定．但如果所有涉及的变量都不那么相关，就很难降维．不相关的变量就只有自己代表自己了．

假定你是一个公司的财务经理，掌握了公司的所有主要数据，比如固定资产、流动资金、每一笔借贷的数额和期限、各种税费、工资支出、原料消耗、产值、利润、折旧、职工人数、职工的分工和教育程度等．如果让你向上面介绍公司状况，你能够把这些指标和数字都原封不动地摆出去吗？当然不能．你必须要把各个方面进行高度概括，用一两个指标简单明了地把情况说清楚．其实，每个人都会遇到有很多变量的数据．比如全国或各个地区的带有许多经济和社会变量的数据，各个学校的研究、教学及各类学生人数及科研经费等各种变量的数据等．这些数据的共同特点是变量很多，在如此多的变量之中，有很多是相关的．人们希望能够找出它们的少数“代表”来对它们进行描述．

在实际问题中，往往会涉及众多有关的变量．但是，变量太多不仅会增加计算的复杂性，而且也给合理地分析问题和解释问题带来困难．一般来说，虽然每个变量都提供了一定的信息，但其重要性有所不同，而在很多情况下，变量间有一定的相关性，从而使得这些变量所提供的信息在一定程度上有所重叠．因而人们希望对这些变量加以“改造”，用为数较少的互不相关的新变量来反映原变量所提供的绝大部分信息，通过对新变量的分析达到解决问题的目的．主成分分析便是在这种降维的思想下产生出来的处理高维数据的方法．

本章就介绍把变量维数降低以便于描述、理解和分析问题的方法：主成分分析（principal component analysis）．主成分分析是1901年Pearson对非随机变量引入的，1933年Hotelling将此方法推广到随机向量的情形，主成分分析和聚类分析有很大的不同，它有严格的数学理论作基础．主成分分析的主要目的是希望用较少的变量去解释原来资料中的大部分变异，将我们手中许多相关性很高的变量转化成彼此相互独立或不相关的变量．通常是选出比原始变量个数少，能解释大部分资料中的变异的几个新变量，即所谓主成分，并用以解释资料的综合性指标．由此可见，主成分分析实际上是一种降维方法．(www.chuimin.cn)

多维变量的情况和二维类似，也有高维的椭球，只不过无法直观地看见罢了．首先把高维椭球的各个主轴找出来，再用代表大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量；这样，主成分分析就基本完成了．注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴也是互相垂直的．这些互相正交的新变量是原先变量的线性组合，叫做主成分（principal component）．

正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三个主轴一样，有几个变量，就有几个主成分．当然，选择越少的主成分，降维就越好．什么是选择的标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分．有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主轴长度之和的大约80%（也有的说75%左右等）即可．其实，这只是一个大体的说法；具体选几个，要看实际情况而定．但如果所有涉及的变量都不那么相关，就很难降维．不相关的变量就只有自己代表自己了．

应用多元统计分析：主成分分析的实例

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