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傅里叶变换的基本性质及应用

2023-10-30 理论教育版权反馈

【摘要】：这一节,我们将介绍傅氏变换的几个重要性质,为了叙述方便,假定以下需求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件.1.线性性质设F1(w)=F[f1(t)],F2(w)=F[f2(t)],α,β是常数,则由于傅氏变换,傅氏逆变换是由积分定义的,而积分具有线性性质,所以傅氏变换,傅氏逆变换也具有线性性质.2.位移性质设F[F(t)]=F(w),则这个性质也称为时移性,它表明时间函数f(t)沿t 轴向左或

这一节,我们将介绍傅氏变换的几个重要性质,为了叙述方便,假定以下需求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件.

1.线性性质

设F1(w)=F[f1(t)],F2(w)=F[f2(t)],α,β是常数,则

由于傅氏变换,傅氏逆变换是由积分定义的,而积分具有线性性质,所以傅氏变换,傅氏逆变换也具有线性性质.

2.位移性质

设F[F(t)]=F(w),则

这个性质也称为时移性,它表明时间函数f(t)沿t 轴向左或向右移t0的傅氏变换,等于f(t)的傅氏变换乘以因子eiwt0 或e-iwt0.

证明由傅氏变换定义,令u=t±t0,得

同样,傅氏逆变换有类似的位移性质,即

例1 求矩形脉冲f(t)= pagenumber_ebook=220,pagenumber_book=211

解由傅氏变换定义,

下面利用平移性质来计算.

设

则

由位移性质

例2 设F[f(t)]=F(w),求F[f(t)cos w0t] 和F[f(t)sin w0t].

解由傅氏逆变换平移性质,可得

因此

同样

3.相似性质

设F[f(t)]=F(w),a为非零常数,则

证明设u=at,则当a ＞0时,

当a ＜0时,

总之

特别是当a=-1时,有如下翻转性质,

同样,傅氏逆变换也有类似的相似性质,即

4.对称性质

设F[f(t)]=F(w),则(www.chuimin.cn)

证明由f(t)= pagenumber_ebook=222,pagenumber_book=213 得

将t与w互换,有

F[F(t)]=2πf(w).

5.微分性质

如果f′(t)在(-∞,+∞)上连续或只有有限个可去间断点,且当|t|→+∞时,F[f(t)]=F(w),则

F[f′(t)]=iwF(w).

证明由傅氏变换定义,并利用分部积分可得

推论如果f(n)(t)在(-∞,+∞)上连续或只有有限个可去间断点,且当|t|→+∞时,f(k)(t)→0,k =1,2,··· ,n-1,F[f(t)]=F(w),则

F[fn(t)]=(iw)nF(w).

注为了证明简单起见,这里附加了条件|t| →+∞时,f(t) →0.事实上,满足傅氏积分定理条件的函数,其附加条件必成立,且推论中的附加条件,|t|→+∞时,fk(t)→0,k =1,2,··· ,n-1也成立.

同样,傅氏逆变换也有类似的性质,即若F-1[F(w)]=f(t),则

F-1[F′(w)]=-itf(t),F-1[F(n)(w)]=(-it)nf(t).

或换一种表示形式为

F′(w)=F[-itf(t)],Fn(w)=F[(-it)nf(t)].

6.积分性质

设F[f(t)]=F(w),如果t →+∞时,g(t)= 则

证明因为

所以

由微分性质

于是

注如果条件t →+∞时,g(t)=不成立,性质应为

同样,傅氏逆变换也有类似的积分性质,即

或换一种表示形式为

例3 求

解因为

由傅氏逆变换的积分性质,得