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幻中之幻：构造完美幻矩阶数为4m×k（m、k为自然数）

2023-10-20 理论教育版权反馈

【摘要】：亦为自然数）的最完美幻矩形.注意到从左到右k个4m阶非正规的最完美幻方中，左边第一个4m阶非正规的最完美幻方其左半部分2m列中，任意选取若干列各自与与其相距2m列的相应列做列交换，其余k－1个4m阶非正规的最完美幻方作相同的列交换，所得仍是一个4m×k（m＝1，2，…

这个最完美幻矩形由k个4m阶非正规的最完美幻方组合而成.

第一步，把1～k（4m）2的自然数按从小到大均分为k（4m）组，每组有4m个数.

从左到右第一个4m阶最完美幻方由第1～2m和第（2k－1）·（2m）+1～2k（2m）组的数所组成.取第1～2m和第（2k－1）·（2m）+1～2k（2m）组的数，按照构造最完美幻方的三步法构造第一个4m阶非正规的最完美幻方.各组的数字可按自然数顺序也可按非自然数顺序（需符合对称原则）排列.

从左到右第二个4m阶非正规的最完美幻方由第2m+1～4m和第（2k－1）·（2m）+1～2k（2m）组的数所组成.取第2m+1～4m和第（2k－1）·（2m）+1～2k（2m）组的数，按照构造最完美幻方的三步法构造第二个4m阶非正规的最完美幻方.各组的数字按构造第一个最完美幻方时同样的规则排列.

从左到右第t（t=1，2，…，k为自然数）个4m阶非正规的最完美幻方由第（t-1）·（2m）+1～t（2m）和第（2k－t）·（2m）+1～（2k－t+1）·（2m）组的数所组成.取第（t-1）·（2m）+1～t（2m）和第（2k－t）·（2m）+1～（2k－t+1）·（2m）组的数，按照构造最完美幻方的三步法构造第t个4m阶非正规的最完美幻方.各组的数字按构造第一个4m阶非正规的最完美幻方时同样的规则排列.

第二步，把第一步得到的k个4m阶最完美幻方，从左到右安排在一起就得到一个4m×k（4m）的最完美幻矩形.这个最完美幻矩形由1～k（4m）2的自然数所组成，其每列4m个数之和都是2m[k（4m）2+1]，而每行k（4m）个数之和都是2km[k（4m）2+1]，恰是2m[k（4m）2+1]的k倍.构成最完美幻矩形的每一个4m×4m方阵对角线或泛对角线上4m个数之和都是2m[k（4m）2+1]，对角线或泛对角线上，间距为2m个位置的2个数字之和都等于k（4m）2+1.且在矩形中任意位置上截取一个2×2的小方阵，包括由一半在这个幻矩形的第1行（或第1列），另一半在幻矩形第4m行（或第k（4m）列）所组成的跨边界2×2小方阵，其中4个数之和都等于2[k（4m）2+1].(www.chuimin.cn)

由于构造4m×k（4m）（m＝1，2，…为自然数，k＝2，3，…亦为自然数）的最完美幻矩形k个4m阶非正规的最完美幻方时各组的数字按同样的规则排列，用三步法可构造出22m（（2m）！）个不同的双偶数n=4m（m＝1，2，…为自然数）阶最完美幻方，所以借助构造双偶数n=4m（m＝1，2，…为自然数）阶最完美幻方的三步法可构造出22m（（2m）！）个不同的4m×k（4m）（m＝1，2，…为自然数，k＝2，3，…亦为自然数）的最完美幻矩形.

注意到从左到右k个4m阶非正规的最完美幻方中，左边第一个4m阶非正规的最完美幻方其左半部分2m列中，任意选取若干列各自与与其相距2m列的相应列做列交换，其余k－1个4m阶非正规的最完美幻方作相同的列交换，所得仍是一个4m×k（4m）（m＝1，2，…为自然数，k＝2，3，…亦为自然数）的最完美幻矩形。

又注意到从左到右k个4m阶非正规的最完美幻方中，左边第一个4m阶非正规的最完美幻方其左半部分2m列在左半部分中向右顺移，右半部分亦做相应的右移，其余k－1个4m阶非正规的最完美幻方作相同的顺移，所得仍是一个4m×k（4m）（m＝1，2，…为自然数，k＝2，3，…亦为自然数）的最完美幻矩形.

所以借助构造双偶数n=4m（m＝1，2，…为自然数）阶最完美幻方的三步法实际上可构造出22m（（2m）！）（22m-1）（2m）个不同的4m×k（4m）（m＝1，2，…为自然数，k＝2，3，…亦为自然数）的最完美幻矩形.