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2023-06-23
最小二乘基窗设计算法优化
【摘要】：图3-31 基于最小二乘的基窗F卷积窗C及滤波器特性实现上述结果的MATLAB代码如下：图3-31 基于最小二乘的基窗F卷积窗C及滤波器特性实现上述结果的MATLAB代码如下：卷积窗C性能参数B=0.2165，A=-14dB，D=-10.15dB。对比图3-16七种基窗可看出，利用最小二乘得到的基窗综合性能最好。此外，基于此结果基窗F的滤波器具有最小的均方误差。
由第2章内容可知，对于满足线性条件ap系统传输特性可表示为式（2-51），令
重写传输特性如下
假设频率取样序列为H，则传输特性的频率偏差距离为
假设N为奇数（偶数同法可证），根据卷积窗中心对称性整理式（3-31）得
式中，ωk=2kπ/N。再令
则式（3-32）表示的频采误差又可表示为
由于H具有对称性，所以式（3-34）进一步简化如下：
式（3-35）是卷积窗C的函数，为取得最小值，应满足：
即误差对于任意卷积窗元素cn的偏导数恒为零，整理式（3-36）得：
定义如下矩阵：
则式（3-37）的矩阵表达如下：
VPC=VH （3-38）
从而求得卷积窗C为
C=（VP）-1VH （3-39）
假设N=17的低通滤波器上截止频率为π/2，则传输特性序列H=[1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1]，其频率取样ωk=2kπ/17。求得单位响应序列h=[0.52940.3188-0.0299-0.10750.03150.0660-0.0346-0.04880.0398 0.0398-0.0488-0.03460.0660 0.0315-0.1075-0.02990.3188]，则分别构造矩阵P、V、C、H代入式（3-39）求得窗C=[0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 1.00 0.50 0.50]，如果以C为基窗，则卷积窗图形及对应的系统曲线如图3-31所示。
图3-31 基于最小二乘的基窗F卷积窗C及滤波器特性
实现上述结果的MATLAB代码如下（画图部分省略）：
卷积窗C性能参数B=0.2165，A=-14dB，D=-10.15dB。虽然A和D较低，但过渡带宽度降低很多，窗口速度sw达到了64.67，加速度aw达到了46.89。对比图3-16七种基窗可看出，利用最小二乘得到的基窗综合性能最好。此外，基于此结果基窗F的滤波器具有最小的均方误差。由图3-31特性曲线可看出，虽然通带幅度未达到1且阻带幅度触底到0，但系统整体误差为0.2117，比已知最优三角窗仍降低了2%。
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