2页纸图解数学：用矩阵构造模型

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：令人惊喜的是，以上这些反过来也行得通——任何一个群，无论是怎样的群，都可以被表示为一个矩阵的集合。因此，对于学习群论的人来说，这是一个很有用的技巧，也能为对矩阵的研究带来新的启发。参考阅读//No. 36 二元运算，第76页No. 38 群，第80页No. 43 伽罗瓦理论，第90页No. 63 矩阵，第130页3.一分钟记忆群论源自我们从众多具体情况中抽象出结构的意愿；而表示论则为我们提供了某种一致的方式来使这个结构重归具体。

矩阵（由数字构成的满足某种代数规则的方形阵列）能以一种具体的方式来表示复杂对象的对称。

1.多维度看全

群是一个完全抽象的数学对象。群的元素可以代表许多不同种类的具体事物，比如数字、晶体的对称、电子轨道、域同构（属伽罗瓦理论）、密码系统里的元素、游戏中的操作、空间的连续性变换，甚至是一些日常生活中的对象。群论可以帮助我们透过复杂性，认识其结构。

在研究方形矩阵的集合时，我们自然而然会想要引入群。方形矩阵可以被看作某个向量空间发生的几何变换。两个方形矩阵相乘所起到的变换效果与我们对向量空间接连进行两次变换等价。在某些特定条件下，这些矩阵的集合可以构成一个以乘法为二元运算的群。

令人惊喜的是，以上这些反过来也行得通——任何一个群，无论是怎样的群，都可以被表示为一个矩阵的集合。这就是表示论的视角。

2.关键点梳理

由于想要将结构从具体的数学对象中分离出来进行专门的研究，人们便慢慢发展出群的概念。而有了群的表示，我们可以以某种一致的方式使群重归具体。

这样一来，每个群都转化为一个由矩阵构成的集合，而矩阵是我们十分了解的。因此，对于学习群论的人来说，这是一个很有用的技巧，也能为对矩阵的研究带来新的启发。总之，这个理论将整个数学领域中最常见的两个对象整合在了一起。

参考阅读//(www.chuimin.cn)

No. 36 二元运算，第76页

No. 38 群，第80页

No. 43 伽罗瓦理论，第90页