定理1 如果函数u=φ（t）及v=ψ（t）都在点t可导，函数z=f（u，v）在对应点（u，v）处具有连续偏导数，则复合函数z=f[φ（t），ψ（t）]在点t处可导，且其导数可用下列公式计算定理1可推广到复合函数的中间变量多于两个的情形.例如，设z=f（u，v，ω），u=φ（t），v=ψ（t），w=ω（t）复合而得复合函数则在与定理相类似的条件下，复合函数在点t可导，且其导数可用下列公式计算式（8.......
2023-10-19
导数运算法则和复合函数求导
【摘要】：一、导数的四则运算法则法则1：两个可导函数的和（差）的导数等于这两个函数的导数的和（差）.用公式可写为：（u±v）′=u′±v′.其中u、v为可导函数.法则2：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去.用公式可写为：（cu）′=cu′.法则3：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数.用公式可写为：（uv）′=u′v+
一、导数的四则运算法则
法则1：两个可导函数的和（差）的导数等于这两个函数的导数的和（差）.用公式可写为：（u±v）′=u′±v′.其中u、v为可导函数.
法则2：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去.用公式可写为：（cu）′=cu′.
法则3：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数.用公式可写为：（uv）′=u′v+uv′.
二、应用举例
【例题1】 求函数y=3x3+4x2-2x+8的导数.
解：y′=（3x3）′+4（x2）′-2x′+（8）′
=9x2+8x-2.
【例题2】 设f（x）=xsinx，求f′（x）.
解：f′（x）=（xsinx）′
=x′sinx+x(sinx)′=sinx+xcosx.
【例题3】 设f（x）=xexlnx，求f′（x）.
【例题4】 求函数y=tanx的导数.
即： （tanx）′=sec2x
用类似的方法，得 （cscx）′=-cotx·cscx.
三、复合函数的求导法则
定理一（复合函数的求导规则） 对于复合函数y=f[φ（x）]，设y=f（u），u=φ（x），其中u称为中间变量，则复合函数求导用公式表示为：
即两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.
如果对复合函数的分解较为熟悉，函数的求导可以省去中间变量的书写，简化计算.
（1）解：y′=3（1+2x）2（1+2x）′=6（1+2x）3.
（2）解：y′=2sin2x·（sin2x）′=2sin2x·cos2x·（2x）′=4sin2x·cos2x.(www.chuimin.cn)
（3）解：y′=ecos（1-x）3[cos（1-x）3]′=-ecos（1-x）3sin（1-x）3[（1-x）3]′
=3ecos(1-x)3sin(1-x)3(1-x)2.
最终，函数的求导只需两步就可完成，一步求导，二步化简.
（1）解：y=3（1+2x）2·2=6（1+2x）3.
（2）解：y=2sin2x·cos2x·2=4sin2x·cos2x.
（3）解：y=-ecos（1-x）3sin（1-x）3·3（1-x）2·（-1）
=3ecos(1-x)3sin(1-x)3(1-x)2.
习题2.2
1.求下列函数的导数.
(1)y=x4-3x2-5x+6; (2)y=x·cosx;
(3)y=x·tanx; (4)y=x·ex;
2.求下列函数的导数.
(1)y=(1+2x)3; (2)y=(3x-1)2;
(3)y=e(2x+1); (4)y=sin2x;
(5)y=cos(3x-1); (6)y=tan(3x-1);
(7)y=ln(3x-1); (8)y=23x-1;
(9)y=cos22x; (10)y=tan2(2x+1);
(11)y=e(2x+1)2; (12)y=ln(3x-1)2;
(13)y=sin2(2x+1)2; (14)y=esin(2x-1)3;
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2023-10-27
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