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高等数学上册：单调有界准则

2023-11-19 理论教育版权反馈

【摘要】：定义1称满足条件xn≤xn＋1（n＝1，2，…）即｛xn｝单调增加.下面再证｛xn｝上有界：由xn的展开式可知即｛xn｝上有界.因此该数列｛xn｝单调增加且有上界，由准则Ⅱ可知，极限存在，将该极限用字母e表示，即可证明e是一个无理数，且2＜e＜3，它的值为e＝2.718 281 828 459 045…

定义1　称满足条件xn≤xn＋1（或xn≥xn＋1）（n＝1，2，…）的数列｛xn｝为单调增加（或减少）数列.

单调增加数列与单调减少数列统称为单调数列.

对于数列｛xn｝，若存在两个数M1，M2（设M1＜M2），使得∀xn都满足不等式

M1≤xn≤M2

则称｛xn｝为有界数列，M1为其下界，M2为其上界.

由极限性质可知，收敛数列必定有界，但有界的数列不一定收敛，例如有界数列｛1－（－1）n｝是发散的.如果有界数列要收敛，则它的点在数轴上必须密集在某个数的周围，或向某个数无限接近，再结合单调数列的特点，我们得到判别数列极限存在性的另一个准则.

准则Ⅱ　单调有界数列必有极限.

准则Ⅱ的证明超出本书要求，所以从略，我们从直观上给出如下的几何解释，以帮助读者理解.

由于数列｛xn｝是单调有界的，因此它在数轴上对应的点xn只可能沿数轴在一个有限的区间（－M，M）内向左或向右向单方向移动.

不妨设｛xn｝是有界的单调增加数列，最小的上界为a（a≤M），则对应的项xn在数轴上都落在点a的左侧且不断从a的左边向点a移动，当n越大，对应的项xn增加的幅度只能越来越小，并从点a的左侧无限逼近它的最小上界a，因而a就是｛xn｝的极限.即

xn→a（n→∞）

同理可推得，如果数列｛xn｝为单调减少且有下界，则该数列必有极限（极限为该数列的最大下界）.由此可知，单调有界数列必有极限，即准则Ⅱ成立.

准则Ⅱ可推广到如等变化过程对应的单侧极限的情形中，但不能推广到诸如x→x0，x→∞等变化过程对应的双侧极限的情形中.

下面利用准则Ⅱ讨论数列极限

考察数列

先证｛xn｝单调增加：

由二项式定理

比较xn与xn＋1的展开式，注意到

即除前两项相同外，从第三项开始xn＋1的每一项都大于xn的相应项，且xn＋1比xn最后还多了一个正项（最后一项），因此

xn＜xn＋1　（n＝1，2，3，…）

即｛xn｝单调增加.

下面再证｛xn｝上有界：(www.chuimin.cn)

由xn的展开式可知

即｛xn｝上有界.

因此该数列｛xn｝单调增加且有上界，由准则Ⅱ可知，极限存在，将该极限用字母e表示，即

可证明e是一个无理数，且2＜e＜3，它的值为e＝2.718 281 828 459 045…

利用夹逼准则及上述极限还可进一步推广到更一般的函数极限形式：

由于该极限在数学理论和工程技术中都有重要应用，所以也称该极限为重要极限二.

若作代换则x→∞相当于t→0，所以上式又可写为

因此重要极限二在应用中有如下三种常用的形式：

例8　求

解

例9　求

解　

例10　求

解

一般地，若为1∞型极限，对于1∞型极限常利用重要极限二来求.

例11　设证明数列｛xn｝收敛，并求这个极限.

证　首先证明该数列是单调有界的：

故｛xn｝有下界.又

所以｛xn｝单调下降且有下界，则｛xn｝有极限.

设对递推公式两边取n→∞时的极限，得

解得：舍去），即