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2015考研数学基础篇全面复习及解析

2023-10-27 理论教育 版权反馈
【摘要】：1.单项选择题（1）A （2）C （3）D （4）B （5）C（6）C （7）D （8）C （9）D （10）D（11）A （12）A （13）C （14）B2.解答题（1）φ′（x）=f1′·2x+f2′（f1′·2x+f2′），φ′（1）=2×2+3（2×2+3）=25.（2）对所给方程两边求全微分dz-dx-dy+yez-xdx+xez-xdy+xyez-x（dz-dx）=0，即（1+xye

1.单项选择题

（1）A （2）C （3）D （4）B （5）C

（6）C （7）D （8）C （9）D （10）D

（11）A （12）A （13）C （14）B

2.解答题

（1）φ′（x）=f1′·2x+f2′（f1′·2x+f2′），φ′（1）=2×2+3（2×2+3）=25.

（2）对所给方程两边求全微分

dz-dx-dy+yez-xdx+xez-xdy+xyez-x（dz-dx）=0，即（1+xyez-x）dz=（1-yez-x+xyez-x）dx+（1-xez-x）dy，

所以，978-7-111-46245-3-Part01-1897.jpg978-7-111-46245-3-Part01-1898.jpg

（3）由dz=d[e（x+y）lnx+（x+1）ln（1+y）]

所以978-7-111-46245-3-Part01-1900.jpg，

（4）当x2+y2≠0时，978-7-111-46245-3-Part01-1902.jpg，并且978-7-111-46245-3-Part01-1903.jpg，

所以978-7-111-46245-3-Part01-1904.jpg

（5）由978-7-111-46245-3-Part01-1906.jpg知其方向余弦978-7-111-46245-3-Part01-1907.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-1908.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-1909.jpg因此978-7-111-46245-3-Part01-1910.jpg

（6）978-7-111-46245-3-Part01-1912.jpg其中，u=x，v=x，所以y

（7）记u=xg（y），v=y，则978-7-111-46245-3-Part01-1914.jpg，所以所给关系式成为978-7-111-46245-3-Part01-1915.jpg，

从而978-7-111-46245-3-Part01-1916.jpg

（8）z的定义域为除去点（0，0）的xOy平面，由978-7-111-46245-3-Part01-1917.jpg即978-7-111-46245-3-Part01-1918.jpg得x=0，

y=0，x=y，x=-y.由此得z的可能极值点为

（0，1），（0，-1），（1，0），（-1，0），978-7-111-46245-3-Part01-1919.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-1920.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-1921.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-1922.jpg

显然z（0，1）=z（0，-1）=z（1，0）=z（-1，0）=0都不是极值.

记978-7-111-46245-3-Part01-1923.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-1924.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-1925.jpg，则由978-7-111-46245-3-Part01-1926.jpg知978-7-111-46245-3-Part01-1927.jpg是极小值，同样978-7-111-46245-3-Part01-1928.jpg也是极小值.

由978-7-111-46245-3-Part01-1929.jpg知978-7-111-46245-3-Part01-1930.jpg是极大

值，同样978-7-111-46245-3-Part01-1931.jpg也是极大值.

（9）记978-7-111-46245-3-Part01-1932.jpg，（x，y）∈D={（x，y）x>0，y>0，978-7-111-46245-3-Part01-1933.jpg，由于978-7-111-46245-3-Part01-1934.jpg即978-7-111-46245-3-Part01-1935.jpg

所以f（x，y）在D内只有唯一的可能极值点978-7-111-46245-3-Part01-1936.jpg记

A=f″xx（x，y）=-2sinysin（2x+y），B=f″xy（x，y）=cos（2x+2y），(www.chuimin.cn)

C=fy″y（x，y）=-2sinxsin（x+2y），

则由978-7-111-46245-3-Part01-1937.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-1938.jpg知，978-7-111-46245-3-Part01-1939.jpg是f（x，y）在D内的最

大值.由于f（x，y）>0（（x，y）∈D），但limf（x，y）=0，所以f（x，y）在D内无最小值.

（x，y）→（0，0）

由上可知，w（x>0，y>0，z>0）在约束条件978-7-111-46245-3-Part01-1940.jpg下的最大值为978-7-111-46245-3-Part01-1941.jpg，无最小值.

（10）记φ（x，y，z）=x2+y2+z2-1，ψ（x，y，z）=x+y+z及

F（x，y，z）=xyz+λφ（x，y，z）+μψ（x，y，z）.显然F处处可微，且

Fx′ =yz+2λx+μ，

Fy′ =xz+2λy+μ，

Fz′ =xy+2λz+μ.

于是由拉格朗日乘数法得978-7-111-46245-3-Part01-1942.jpg即978-7-111-46245-3-Part01-1943.jpg

解此方程组的（1）、（2）、（3）、（5）得978-7-111-46245-3-Part01-1944.jpg，或978-7-111-46245-3-Part01-1945.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-1946.jpg，所以由式

（4）得xyz在约束条件φ=0和ψ=0下的可能极值点为978-7-111-46245-3-Part01-1947.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-1948.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-1949.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-1950.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-1951.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-1952.jpg

由于w是连续函数，它可在曲线978-7-111-46245-3-Part01-1953.jpg，上取得最大值与最小值，而且只能在点

M1，M2，M3，M4，M5，M6上取到.由于

所以，w在约束条件φ=0和ψ=0下的最大值为978-7-111-46245-3-Part01-1955.jpg，最小值为978-7-111-46245-3-Part01-1956.jpg

（11）由978-7-111-46245-3-Part01-1957.jpg得x=y=0，即z在D内有唯一可能极值点（0，0）.

为了考虑z=x2+y2在D的边界（x-2）2+（y-2）2=9上的最值，记F（x，y）=x2+y2+978-7-111-46245-3-Part01-1958.jpg，

由978-7-111-46245-3-Part01-1959.jpg得978-7-111-46245-3-Part01-1960.jpg与978-7-111-46245-3-Part01-1961.jpg

由于z（0，0）=0，978-7-111-46245-3-Part01-1962.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-1963.jpg，所以z在D上的最大值为25，最

小值为0.

（12）978-7-111-46245-3-Part01-1964.jpg

（13）由于978-7-111-46245-3-Part01-1965.jpg，所以

（14）978-7-111-46245-3-Part01-1967.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-1968.jpg978-7-111-46245-3-Part01-1969.jpg

（15）记D1={（x，y）|x2+y2≤1}，D2=D-D1，则

（16）978-7-111-46245-3-Part01-1971.jpg978-7-111-46245-3-Part01-1972.jpg

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