拉格朗日乘数法在高等数学中的条件极值

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：上面所讨论的极值问题，对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以外，并无其他条件，所以有时候称为无条件极值.但在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题.例如，求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题.设长方体的三条棱的长为x，y，z，则体积V=xyz.又因假定表面积为a2，所以自变量x，y，z还必须满足附加条件2（xy+yz+xz）=a2.像这种对自变量有附加条件的极值称

上面所讨论的极值问题，对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以外，并无其他条件，所以有时候称为无条件极值.但在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题.

例如，求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题.设长方体的三条棱的长为x，y，z，则体积V=xyz.又因假定表面积为a2，所以自变量x，y，z还必须满足附加条件2（xy+yz+xz）=a2.像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值.对于有些实际问题，可以把条件极值化为无条件极值.下面介绍转换方法.

拉格朗日乘数法

设函数f（x，y），φ（x，y）在所考查的区域内有一阶连续偏导数，求函数z=f（x，y）在条件φ（x，y）=0下的极值，其基本步骤如下：

（1）构造拉格朗日函数

其中λ为某一常数.

（2）由方程组

解出x，y及λ，则其中x，y就是函数f（x，y）在附加条件φ（x，y）=0下的可能极值点.(https://www.chuimin.cn)

至于如何确定所求得的点是否是极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定.

例6 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.

解设长方体的三棱长为x，y，z，则问题就是在条件

下，求函数

的最大值.构造拉格朗日函数

因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得，即表面积为a2的长方体中，以棱长为的正方体的体积最大，最大体积为.