索赔非平稳发生的精细大偏差及风险模型

2023-07-06 理论教育版权反馈

【摘要】：众所周知，Poisson过程和更新过程下的索赔都是平稳发生的。Hawkes提出了一类用于描述具有聚集效应的事件发生的线性Hawkes过程，其强度函数为鉴于此，本节拟对额度相依风险模型在索赔非平稳发生的情况下构建精致大偏差公式。

在互联网金融高速发展的今天，当一个P2P平台暴雷后，由个人借款保证险导致的索赔就会蜂拥而至，而这类索赔在平台发展的前期可能几乎不发生，这就说明对这类保险业务而言，索赔要么不发生，要么就是一下子聚集很多索赔，显然已不符合平稳发生的规律。从随机过程的角度来说，计数过程N（t）中的｛θk；k≥1｝可能未必是平稳和遍历的。

众所周知，Poisson过程和更新过程下的索赔都是平稳发生的。Hawkes（1971）提出了一类用于描述具有聚集效应的事件发生的线性Hawkes过程，其强度函数为

鉴于此，本节拟对额度相依风险模型在索赔非平稳发生的情况下构建精致大偏差公式。首先给出关于｛（Xk，θk）；k≥1｝的一些假设。

假设I 对于随机对序列｛（Xk，θk）；k≥1｝，存在一个期望有限的非负随机变量θ*，对每个k≥1和所有较大的x＞0，都可以使θk在（Xi＞x）的条件下被θ*随机控制；也就是说，存在某个x0＞0，使得对所有的x＞x0和t∈［0，∞）都有

当随机变量不是i.i.d.时，某些常用的指数不等式将不再适用，因此需要一些别的工具。鉴于大偏差理论在尾概率估计上的优势（具体参见Dembo和Zeitouni（1998）），我们先对其做一个介绍。Hausdorff拓扑空间Z上的概率测度序列｛μn，n∈N｝满足速率函数为I：X→R的大偏差性质（LDP），即对任意可测集A，有

当N（t）不是更新过程时，｛θk；k≥1｝也许就不是i.i.d.随机变量序列了。由于LDP常常可以提供一些有用的指数不等式，因此自然而然需要对P（N（t）/t∈·）建立LDP。下一个假设就是关于计数过程N（t）。

假设J 对计数过程N（t），有如下假设：

（1）P（N（t）/t∈·）满足速率函数为某个I（·）的LDP，其中I（x）=0当且仅当x=z。

（2）I（x）在［z，∞）上递增，在［0，z］上递减。

（3）对任意的。