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线性分组码的构成及监督矩阵详解

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：设要构成的线性分组码为（7，3）码，码长n=7，信息位长k=3，监督位长r=nk=4。系数矩阵H决定着信息码元和监督码元之间的监督关系，称之为线性分组码的一致监督矩阵或称一致校验矩阵。对（n，k）线性分组码，H 为r行n列的矩阵，它表示了r个监督关系式。具有这种形式的矩阵H 称为典型监督矩阵。

设要构成的线性分组码为（7，3）码，码长n=7，信息位长k=3，监督位长r=nk=4。码字矢量C= [C6C5C4C3C2C1C0]，其中C6C5C4为信息码元，C3C2C1C0为监督码元。假定监督码元与信息码元的关系由下列线性方程组决定

表4-4　线性分组码的一种结构

pagenumber_ebook=64,pagenumber_book=58

pagenumber_ebook=65,pagenumber_book=59

式（4-14）移项后可得4个监督关系式（该方程组在二元有限域上求解，系数取值为 “0”或 “1”）为

pagenumber_ebook=65,pagenumber_book=59

按照监督关系式（4-14）或式（4-15）可以确定（7，3）码的许用码共有23=8个，它是从27=128种组合中选出的，见表4-5。

表4-5　（7，3）码的许用码

pagenumber_ebook=65,pagenumber_book=59

该（7，3）码的全部许用码字都必须受到监督方程组式（4-15）的监督和检验，因此又称该方程组为一致监督方程。

将式（4-15）中的零系数项补上，写出系数可得到下式

pagenumber_ebook=65,pagenumber_book=59

把式（4-16）写成矩阵形式为

pagenumber_ebook=65,pagenumber_book=59

将式（4-14）也写成矩阵形式为(https://www.chuimin.cn)

pagenumber_ebook=66,pagenumber_book=60

令式（4-18）的系数矩阵为H，则

pagenumber_ebook=66,pagenumber_book=60

则式（4-17）可简写为

其中C= [C6C5C4C3C2C1C0]为码字矢量，O= [0000]。

系数矩阵H决定着信息码元和监督码元之间的监督关系，称之为线性分组码的一致监督矩阵或称一致校验矩阵。对（n，k）线性分组码，H 为r行n列的矩阵，它表示了r个监督关系式。H确定则监督关系确定，H是产生监督码元C3C2C1C0的依据，也是检错纠错的依据。由式（4-17）和式（4-18）可见，当H 确定后，已知信息码即可确定监督码，其产生的许用码必然都满足（4-20），因此所有的许用码必然满足式（4-20）。所以在接收端就可以用H矩阵来校验接收的码字是否为许用码。设接收到的码字为R，代入式（4-20），若RH T=O，则说明R为许用码。若RH T≠O，则说明不是许用码，即可以判断为误码。

利用矩阵分块方法，H可写为

pagenumber_ebook=66,pagenumber_book=60

其中，P为式（4-18）中的P；I4为单位矩阵，即

pagenumber_ebook=66,pagenumber_book=60

对于（n，k）分组码，r=n-k，H可写成

其中，P为r×k阶矩阵；Ir为r阶单位矩阵。具有这种形式的矩阵H 称为典型监督矩阵。典型监督矩阵H中的每一行都是彼此独立的，即线性不相关，故不能从几个方程的组合推出方程组的另一个方程。应当注意各种码的H 矩阵不一定是典型矩阵，只有系统码才符合。